二项分布的预期值-教育资源网

二项式分布是一类重要的离散概率分布。这些类型的分布是一系列n独立的伯努利试验，每个试验都有恒定的成功概率p。与任何概率分布一样，我们想知道它的意思或中心是什么。为此，我们真的在问：“二项分布的预期值是多少？”

直觉与证明

如果我们仔细考虑二项式分布，则不难确定此类概率分布的期望值为np。有关此示例的一些快速示例，请考虑以下内容：

在这两个例子中，我们看到E[X]=n p。有两个案例几乎不足以得出结论。虽然直觉是指导我们的好工具，但形成数学论证并证明某些事情是真实的还不够。我们如何确定地证明这种分布的预期值确实是np？

从n成功概率试验p的二项式分布的期望值和概率质量函数的定义，我们可以证明我们的直觉与数学严谨性的结果相匹配。我们需要在工作中谨慎一些，并且在操作组合公式给出的二项式系数时要灵活。

科普_1

我们首先使用公式：

E[X]=∑ⁿX C（n，X）p^X（1-p）^n–X。

由于每个t求和的erm乘以x，对应于x=0的项的值将为0，因此我们实际上可以写：

E[X]=∑ⁿX C（n，X）p^X（1–p）^n–X。

通过操纵C（n，x）表达式中涉及的因子，我们可以重写

x C（n，x）=n C（n–1，x–1）。

这是真的，因为：

x C（n，x）=x n！/（x！（n数学常识-x）！）=n！/（（x-1）！（n-x）！）=n（n-1）！/（（x-1）！（（n-1）-（x-1））！）=n C（n–1，x–1）。

由此可见：

E[X]=∑ⁿn C（n–1，X–1）p^X（1–p）^n–X。

我们从上面的表达式中剔除了n和一个p：

E[X]=n p∑ⁿC（n–1，X–1）p^X–1（1–p）^{（n–1）-（X–1）}。

变量140 r x-1141的变化给了我们：

（n-1，r）p 149 r 150（1-p）151（n-1）-r 152>。

通过二项式，（x+y）^k=∑^kC（k，r）x^ry^k–r可以重写上面的总和：

E[X]=（n p）（p+（1–p））^n–1=np。

上述论点让我们走了很长一段路。从二项分布的期望值和概率质量函数的定义开始，我们已经证明了我们的直觉告诉我们的。二项分布的期望值B（n，p）是n p。