电源集中有多少元素？-教育资源网

集合a的幂集是a的所有子集的集合。当使用具有n个元素的有限集合时，我们可能会问的一个问题是：“在a的幂集中有多少个元素？“我们将看到这个问题的答案是2ⁿ，并在数学上证明为什么这是真的。

16观察模式17 18
我们将通过观察a的幂集中元素的数量来寻找一种模式，其中a具有n元素：

30>如果A={{}（空集），那么A没有元素，但P（A）={{{{}}}A没有元素，但P（A）
如果A={{A}，那么AA有一个元素，P（A）P（A）
如果AA={{{A，b}（空集），那么AAAA没有元素，如果AA={A，b}，b}，那么A有两个元素，P（A）={{}，{A}，{b}，{A，b}}，具有两个元素的集合。

在所有这些情况下，很容易看出，对于具有少量元素的集合，如果在a中存在有限数量的n元素，则幂集P（a）具有2n元素。但是这种模式是否继续？仅仅因为n=0,1和2的模式是真的并不一定意味着该模式对于n的较高值是真的。

但是这种模式确实在继续。为了证明情况确实如此，我们将使用归纳证明。

归纳证明对于证明有关所有自然数的陈述很有用。我们分两步实现这一目标。**步，我们通过显示我们希望考虑的n的**个值的真实陈述来锚定我们的证明。我们证明的第二步是假设语句保持n=k，并且表明这意味着语句保持n=k+1。

为了帮助我们证明，我们需要另一个观察。从上面的例子中，我们可以看到P（{a}）是P（{a，b}）的子集。{a}的子集正好是{a，b}子集的一半。我们可以通过将元素b添加到{a}的每个子集来获得{a，b}的所有子集。此集合添加是通过联合的集合操作完成的：

这些是P（{a，b}）中不是P（{a}）元素的两个新元素。

我们看到P（{a，b，c}）有类似的情况。我们从四组P（{a，b}）开始，并向每个组添加元素c：

因此，我们最终得到P中总共八个元素（{a，b，c}）。

我们现在已经准备好证明这样的说法：“如果集合142 A 143包含144 n 145个元素，那么幂集合146 P（A）147有2 148 n 150 151个元素。”

我们首先注意到，对于n=0、1、2和3的情况，已经锚定了归纳证明。我们通过归纳假设该语句保持k。现在让集合A包含n+1个元素。我们可以写A=BU饮食健康常识{x}，并考虑如何形成A的子集。

我们采用P（B）的所有元素，并且通过归纳假设，其中有2ⁿ。然后，我们将元素x添加到B的每个子集，从而得到另外2ⁿ的B子集。这耗尽了B的子集列表，因此总数为2ⁿ+2ⁿ=2（2ⁿ）=2ⁿ⁺¹eleA的幂集。

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