挑战计数问题和解决方案

计数似乎很容易执行。随着我们深入到被称为组合学的数学领域，我们意识到我们遇到了大量的数学。由于阶乘经常出现，并且数字如10！超过300万，如果我们试图列出所有可能性，计数问题可能会很快变得复杂。

有时，当我们考虑计数问题可能带来的所有可能性时，更容易思考问题的基本原则。这种策略比尝试暴力列出许多组合或排列花费的时间要少得多。

问题"有多少方法可以做？"与"完全不同的问题是什么？可以做什么的方法是什么？"我们将在以下一组具有挑战性的计数问题中看到这个想法。

以下问题涉及三角形一词。请注意，总共有八个字母。让我们理解，三角形这个词的元音是AEI，三角形这个词的辅音是LGNRT。对于真正的挑战，在阅读之前，请在没有解决方案的情况下进一步查看这些问题的版本。

问题美容院小知识

1. 三角形这个词的字母可以排列多少种方式？
   解决方案：在这里，**个字母共有八个选择，第二个字母有七个选择，第三个字母有六个选择，依此类推。通过乘法原理，我们总共乘以8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=8！=40320种不同的方式。
2. 如果必须运行前三个字母（按确切顺序），三角形字的字母可以排列多少种方式？
   解决方案：我们选择了前三个字母，给我们留下了五个字母。跑步后，我们为下一封信选择了五个选项，然后是四个，然后是三个，然后是两个，然后是一个。通过乘法原理ple，有5 x 4 x 3 x 2 x 1=5！=120种以指定方式排列字母的方法。
3. 如果必须按任何顺序运行前三个字母，三角形字的字母可以排列多少种方式？
   解决方案：将其视为两个独立的任务：**个安排字母运行，第二个安排其他五个字母。有3个！=6种安排跑步的方法和5种！安排其他五个字母的方式。所以总共有3个！x 5！=720种按照规定排列三角形字母的方法。
4. 如果前三个字母必须按照任何顺序运行，三角形单词的字母可以排列多少种方式**一个字母必须是元音？
   解决方案：将其视为三个任务：**个安排字母运行，第二个从I和E中选择一个元音，第三个安排其他四个字母。有3个！=6种安排跑步的方法，2种从其余字母中选择元音的方法和4种！安排其他四个字母的方式。所以总共有3个！X 2 X 4！=288按照规定排列三角形字母的方法。
5. 如果必须运行前三个字母（以任何顺序），并且接下来的三个字母必须是三角形字母，可以排列多少种方式三（以任何顺序）？
   解决方案：我们还有三个任务：**个安排字母运行，第二个安排字母TRI，第三个安排其他两个字母。有3个！=6种安排跑步的方式，3！安排三种方式和两种方式安排其他字母的方式。所以总共有3个！x 3！X 2=72种按照指示排列三角形字母的方法。
6. 如果元音IAE的顺序和位置不能，三角形单词的字母可以排列多少种不同的方式改变？
   解决方案：三个元音必须保持相同的顺序。现在共有五个辅音可以安排。这可以在5中完成！=120种方式。
7. 多少如果元音IAE的顺序不能改变，可以排列三角形单词的字母的不同方式，尽管它们的位置可能（IAETRNGL和TRINGEL是可接受的，但EIATRNGL和TRIENGLA不是）？
   解决方案：**分两步考虑。**步是选择元音去的地方。在这里，我们从八个中挑选出三个地方，我们这样做的顺序并不重要。这是一个组合，总共有C（8,3）=56种执行此步骤的方法。其余五个字母可以排列成5个！=120种方式。这给出了总共56×120=6720的排列。
8. 如果元音IAE的顺序可以改变，尽管它们的位置可能不会改变，三角形字的字母可以排列多少种不同的方式？
   解决方案：这与上面的#4完全相同，但字母不同。我们在3个字母中安排三个字母！=6种方式，另外5种字母为5！=120种方式。这种排列方式的总数是6 x 120=720.
9. 三角形单词的六个字母可以排列多少种不同的方式？
   解决方案：由于我们正在讨论一个排列，这是一个排列，总共有P（8,6）=8！/2！=20160方式。
10. 如果必须有相同数量的元音和辅音，三角形单词的六个字母可以排列多少种不同的方式？
    解决方案：只有一种方法可以选择我们要放置的元音。选择辅音可以用C（5,3）=10种方式完成。然后有6！安排六个字母的方式。将这些数字乘以7200的结果。
11. 如果必须至少有一个辅音，三角形这个词的六个字母可以排列多少种不同的方式？
    解决方案：六个字母的每种排列都满足条件，因此有P（8,6）=20160种方式。
12. 有多少种不同的方式如果第元音必须与辅音交替？
    解决方案：有两种可能性，**个字母是元音，**个字母是辅音。如果**个字母是元音，我们有三个选择，然后是五个辅音，两个用于第二个元音，四个用于第二个辅音，一个用于**一个元音，三个用于**一个辅音。我们乘以这个得到3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3=360。通过对称论证，从辅音开始有相同数量的安排。这给出了总共720个排列。
13. 从三角形这个词可以形成多少个不同的四个字母集合？
    解决方案：由于我们正在谈论总共八个中的一组四个字母，因此顺序并不重要。我们需要计算组合C（8,4）=70.
14. 从具有两个元音和两个辅音的三角形单词可以形成多少个不同的四个字母组？
    解决方案：在这里，我们分两步形成我们的集合。有C（3,2）=3种方法从总共3个中选择两个元音。有C（5,2）=10种从五种可用中选择辅音的方法。这给出了总共3x10=30组可能的结果。
15. 如果我们想要至少一个元音，那么从三角形这个词可以形成多少个不同的四个字母组？
    解决方案：可以如下计算：

• 带有一个元音的四组的数目是C（3,1）xC（5,3）=30。
• 具有两个元音的四组的数目是C（3,2）xC（5,2）=30。
• 具有三个元音的四组的数目是C（3,3）xC（5,1）=5。

这总共提供了65个不同的集合。或者，我们可以计算出有70种方法可以形成一组任意四个字母，并减去C（5,4）=5种方法来获得没有元音的集合。