马尔可夫的不平等是什么?

马尔可夫不平等是概率的有用结果,它提供有关概率分布的信息。关于它的显着方面是,不平等适用于任何具有正值的分布,无论其具有哪些其他特征。马尔可夫不平等给出了高于特定值的分布百分比的上限。

马尔可夫不等式的陈述

马尔可夫不平等表示,对于正随机变量X和任何正实数aX大于或等于a的概率小于或等于X的期望值除以a

可以使用数学符号更简洁地说明上述描述。在符号中,我们把马尔可夫不平等写为:

PXa)≤EX)/a

不等式的例证

为了说明不平等,假设我们有一个非负值分布(如卡方分布)。如果这个随机变量X的期望值为3,我们将查看a的几个值的概率。

  • 对于a=10马尔可夫不等式,表示PX≥10)≤3/10=30%。因此,X大于10的概率为30%。
  • 对于a=30马尔可夫不等式,表示PX≥30)≤3/30=10%。因此,X大于30的概率为10%。
  • 对于a=3马尔可夫不等式表示PX≥3)≤3/3=1。概率为1=****的事件是确定的。所以这说明随机变量的某个值大于或等于3。这应该不会太令人惊讶。如果X的所有值均小于3,则期望值也将小于3。
  • 随着a的值增加,等分试样ntEX)/a将变得越来越小。这意味着X的概率非常小,非常大。同样,预期值为3时,我们预计不会有很多分布的值非常大。

不等式的使用

如果我们更多地了解我们正在使用的分布,那么我们通常可以改善马尔可夫不平等。使用它的价值在于它适用于任何具有非负值的分布。

小知识分子

例如,如果我们知道小学学生的平均身高。马尔可夫不平等告诉我们,不超过六分之一的学生的身高可以高于平均身高的六倍。

马尔可夫不等式的另一个主要用途是证明Chebyshev的不等式。这个事实导致“Chebyshev的不等式”这个名称也适用于马尔可夫的不等式。不平等命名的混淆也是由于历史情况造成的。Andrey Markov是Pafnuty Chebyshev的学生。Chebyshev的工作包含了归因于马尔可夫的不平等。

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