期望值的公式-教育资源网

要问概率分布的一个自然问题是，"它的中心是什么？"期望值是概率分布中心的这种度量之一。由于它衡量的是平均值，所以这个公式来源于平均值也就不足为奇了。

为了建立一个起点，我们必须回答这个问题，"预期值是多少？"假设我们有一个与概率实验相关的随机变量。让我们说我们一次又一次地重复这个实验。在同一概率实验的多次重复的长期运行中，如果我们将随机变量的所有值取平均值，我们将获得期望值。

接下来我们将看到如何使用公式来计算期望值。我们将同时查看离散设置和连续设置，并查看公式中的异同

离散随机变量的公式

我们首先分析离散情况。给定一个离散的随机变量X，假设它的值X，X，X。x，以及p，p，p。p。这就是说这个随机变量的概率质量函数给出了36 f 37（38 x 39）=40 p 41。42

X的期望值由下式给出：

E（X）=Xp+Xp+Xp+。+xp。

使用概率质量函数和求和符号，我们可以更紧凑地写出如下公式，其中求和取自索引i：

E（X）=∑Xf（X）。

这个版本的公式很有帮助，因为当我们有一个无限的样本空间时，它也适用。这个公式也很容易调整为连续案件。

翻转硬币三次，让X成为头的数量。随机变量X是离散的和有限的。我们可以拥有的**可能的值是0,1,2和3。对于X=0，概率分布为1/8，X=1时为3/8，X=2时为3/8，X=3时为1/8。使用期望值公式获得：

（1/8）0+（3/8）1+（3/8）2+（1/8）3=12/8=1.5

在这个例子中，我们看到，从长远来看，我们将从这个实验中平均总共有1.5个头。这与我们的直觉是有道理的，因为3个中的一半是1.5。

的公式

我们现在转向一个连续的随机变量，我们用X表示。我们将用函数f给出X的概率密度函数。（X）。

X的期望值由下式给出：

E（X）=∫X f（X）dX。

在这里，我们看到随机变量的期望值表示为一个积分。

科普_1

预期值的应用程序163 164

随机变量的期望值有许多应用。这个公式在圣彼得堡悖论中有一个有趣的外观。

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