德摩根的法律是什么?

数学统计学有时需要使用集合论。德摩根定律是描述各种集合论操作之间相互作用的两个陈述。法则是对于任意两组AB

  1. ABC=ACUBC
  2. AUBC=ACBC

在解释这些陈述中的每一个意味着什么之后,我们将看看每个被使用的例子。

集合理论运算

要理解德摩根定律所说的,我们必须回顾一些集合论操作的定义。具体来说,我们必须了解两组的并集和交集以及一组的补充。

德摩根的法律涉及工会,交叉点和补充点的互动。回想一下:

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  • 集合AB的交集由AB共有的所有元素组成。交点用AB表示。
  • 集合AB的并集由所有元素组成在AB中,包括两组中的元素。交点由A U B表示。
  • 集合A的补码由不是A的元素的所有元素组成。这个补码用A 91 C 92表示。93

现在我们已经回顾了这些基本操作,我们将看到德摩根定律的陈述。对于每对集合AB,我们有:

  1. ABC=ACUBC
  2. AUBC=ACBC

这两个陈述可以通过使用维恩图来说明。如下所示,我们可以证明b为了证明这些陈述是正确的,我们必须使用集合论操作的定义来证明它们。

De Morgan'的例子;s定律

例如,考虑从0到5的实数集。我们用区间符号[0,5]写这个。在这个集合中,我们有A=[1,3]和B=春季饮食养生小常识[2,4]。此外,在应用我们的基本操作后,我们有:

  • 补体AC=[0,1)U(3,5]
  • 补体BC=[0,2)U(4,5]
  • 并集AUB=[1,4]
  • 交点AB=[2,3]

我们首先计算并集ACUBC。我们看到[0,1)U(3,5]与[0,2)U(4,5]的并集是[0,2)U(3,5]。交点AB是[2,3]。我们看到这个集合[2,3]的补码也是[0,2)U(3,5]。通过这种方式,我们证明了ACUBC=(ABC

现在我们看到[0,1)U(3,5]与[0,2)U(4,5]的交点是[0,1)U(4,5]。我们还看到[1,4]的补码也是[0,1)U(4,5]。通过这种方式,我们证明了216 A 217 218 C 219 220 B 221 222 C 223(224 A 225 U 226 B 227)228 C 229。

De Morgan的命名's定律

在整个逻辑史上,奥卡姆的亚里士多德和威廉等人都发表了相当于德摩根定律的陈述。

De Morgan's定律以Augustus De Morgan命名,他生活于1806-1871年。虽然他没有发现这些法则,但他是**个在命题逻辑中使用数学公式正式引入这些陈述的人。

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