Chebyshev不平等工作表

Chebyshev不等式表示,样本中至少有1-1/K2的数据必须落在与平均值K的标准偏差之内,其中K是大于1的任何正实数。这意味着我们不需要知道数据分布的形状。只有均值和标准差,我们才能确定数据量与平均值有一定数量的标准差。

以下是使用不平等的一些问题。

示例#1

一类二年级学生的平均身高为五英尺,标准差为一英寸。班级中至少有多少百分比必须在4'10“和5'2”之间?​​

Solution

在上述范围内给出的高度与五英尺的平均高度相差两个标准差。Chebyshev的不等式表示,至少1-1儿童健康保健知识/22=3/4=75%的班级在给定的高度范围内。

科普_1

示例#2

发现来自特定公司的计算机平均持续三年而没有任何硬件故障,标准偏差为两个月。至少有多少百分比的计算机持续31个月至41个月?

Solution

三年的平均寿命相当于36个月。31个月至41个月的时间与平均值相差5/2=2.5个标准差。根据Chebyshev的不平等,至少有1-1/(2.5)62=84%的计算机持续31个月至41个月。

示例#3

培养物中的***均存活3小时,标准偏差为10分钟。至少有多少部分细菌生活在两到四个小时之间?

Solution

两个小时和四个小时距离平均值一小时。一小时对应六个标准偏差。所以至少1-1/62=35/36=97%的细菌存活2至4小时。

示例#4

如果我们要确保我们至少有50%的分布数据,那么我们必须去的平均值的最小标准偏差数是多少?

Solution

在这里,我们使用Chebyshev的不等式并向后工作。我们希望50%=0.50=1/2=1-1/K2。目标是使用代数来求解K

我们看到1/2=1/K2。交叉乘以并看到2=K2。我们取两侧的平方根,由于K是许多标准偏差,我们忽略方程的负解。这表明K等于2的平方根。因此,至少50%的数据与平均值相差约1.4个标准偏差。

示例#5

公交线路#25平均时间为50分钟,标准差为2分钟。该总线系统的促销海报指出:“总线路线#25的95%时间从ŤŤuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu持续到uuuuuuuuuuuuyminutes。”您将用哪些数字填写空白?

解决方案

这个问题类似于我们需要解决的**一个问题,K,即与平均值的标准偏差数。首先设置95%=0.95=1-1/K2。这表明1-0.95=1/K2。简化为1/0.05=20=K2。所以K=4.47。

现在用上面的条款表达这一点。所有骑行中至少有95%与50分钟的平均时间相差4.47个标准偏差。将4.47乘以标准偏差2,最终得到9分钟。所以95%的时间,公交线路ţ25需要41到59分钟。