什么是圣彼得堡悖论?

你在俄罗斯圣彼得堡的街道上,一位老人提出以下游戏。他翻转一枚硬币(如果你不相信他是公平的硬币,他将借用你的一枚)。如果它落下尾巴,那么你就会失败,游戏就结束了。如果硬币低落,那么你赢得一个卢布并且游戏继续。硬币再次被投掷。如果是尾巴,那么游戏结束。如果是头,那么你再赢得两个卢布。游戏继续以这种方式。对于每一个连续的头部,我们将前一轮的得分加倍,但是在第一个尾部的标志处,游戏就完成了。

你会花多少钱来玩这个游戏?当我们考虑这个游戏的预期价值时,无论成本是多少,你都应该抓住这个机会。但是,从上面的描述来看,你可能不愿意付出太多钱。毕竟,没有任何获胜的可能性为50%。这就是所谓的圣彼得堡悖论,由于1738年出版的丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)对圣彼得堡帝国科学院的评论而得名。

Some probability

让's从计算与此游戏相关的概率开始。公平硬币产生的概率是1/2。每个硬币折腾都是一个独立的事件,因此我们可能使用树形图来乘以概率。

  • 连续两个头的概率为(1/2)x(1/2)1/4。三个头连续的概率为(1/2)x(1/2)x(1/2)1/8。为了表示连续25个n 26个头的概率,其中27个n 28是一个正整数,我们用指数写1/2 29 30 n 31 32。33

一些付款

现在让我们继续前进,看看我们是否可以概括每轮中的风选。

  • 如果你在第一轮有头,你会在那一轮中赢得一个卢布。
  • 如果第二轮有头在那一轮中心理健康知识手抄报内容,你赢得了两个卢布。
  • 如果第三轮有头,那么你在那一轮中赢得了四个卢布。
  • 如果你幸运的话,一直到nth一轮,那么你将在那一轮中赢得2n-1卢布。

游戏的预期价值

一场比赛的预期价值告诉我们,如果你多次玩游戏,获胜的平均值是多少。为了计算期望值,我们将每轮的风选值乘以进入该轮的概率,然后将所有这些产品加在一起。

  • 从第一轮开始,您的概率为1/2,风选为1卢布:1/2 x 1=1/2
  • 从第二轮开始,您的概率为1/4,风选为2卢布:1/4 x 2=1/2
  • 从第一轮开始,您的概率为1/8,风选为4卢布:1/8 x 4=1/2
  • 从第一轮开始,您的概率为1/16,风选为8卢布:1/16 x 8=1/2
  • 从第一轮开始,您的概率为1/2n和2n-1卢布:1/2nx 2n-1=1/2

每轮的值为1/2,将第一轮n的结果加在一起得出的预期值为n/2卢布。由于n可以是任何正整数,因此期望值是无限的。

悖论

那么你应该花什么钱?从长远来看,卢布,一千卢布甚至十亿卢布都会低于预期值。尽管上述计算显示了巨大的财富,但我们都不愿意付出很多钱。

解决悖论的方法很多。其中一种更简单的方法是没有人会提供如上所述的游戏。没有人拥有无限的资源d带着去支付继续翻身的人。

解决悖论的另一种方法是指出连续获得20头这样的东西是多么不可能。发生这种情况的几率比赢得大多数州乐团要好。人们经常以5美元或更少的价格玩这样的乐团。所以玩圣彼得堡游戏的价格可能不应超过几美元。

如果圣彼得堡的男人说玩他的游戏花费的不仅仅是几卢布,你应该礼貌地拒绝和离开。无论如何,卢布都不值得。

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