什么是功率集?

集合理论中的一个问题是集合是否是另一集合的子集。A的子集是通过使用集合A中的一些元素形成的集合。为了使B成为a的子集,B的每个元素也必须是a的元素。

每组都有几个子集。有时需要知道所有可能的子集。被称为power set的结构有助于这一努力。集合A的幂集是具有也是集合的元素的集合。通过包含给定集合a的所有子集形成该幂集。

示例1

我们将考虑两个功率集的例子。首先,如果我们从集合A={1,2,3}开始,那么什么是功率集?我们继续列出A的所有子集。生活小常识作文

  • 空集是a的子集。实际上,空集是每个集的子集。这是**没有元素A的子集。
  • 集合{1},{2},{3}是A的**子集,只有一个元素。
  • 集合{1,2},{1,3},{2,3}是A**具有两个元素的子集。
  • 每个集合都是它自己的子集。因此,A={1,2,3}是A的子集。这是**具有三个元素的子集。

一个

一个

一个

示例2

对于第二个例子,我们将考虑B={1,2,3,4}的幂集。我们上面所说的大部分都是相似的,如果现在不完全相同的话:

  • 空集和B都是子集。
  • 由于B有四个元素,所以有四个子集有一个元素:{1},{2},{3},{4}。
  • 由于三个元素的每个子集都可以通过从B中消除一个元素来形成,并且有四个元素,所以有四个这样的子集:{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4} ,{2、3、4}。
  • 它仍然确定具有两个元素的子集。我们正在形成从一组4中选择的两个元素的子集。这是一个组合,这些组合中有C(4,2)=6。子集为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}。

B

B

Notation

有两种方式可以表示集合a的功率集。表示这一点的一种方法是使用符号PA),其中有时此字母P用程式化脚本编写。功率集A的另一个符号是2A。该符号用于将电源组连接到电源组中的元件数量。

功率集的大小

我们将进一步研究这个符号。如果A是具有n个元素的有限集,则其功率集P(A)将具有2n个元素。如果我们使用无限集,那么想到2n个元素无济于事。然而,康托定理告诉我们,集合的基数和它的幂集是不一样的。

科普_1

数学上一个悬而未决的问题是,一个可数无限集合的幂集的基数是否与实数的基数相匹配。这个问题的解决方案技术性很强,但我们可以选择是否确定基数。两者都导致了一致的数学理论。

功率集的概率

概率主题基于集合论。我们不是提到通用集和子集,而是谈论样本空间和事件。有时在使用样本空间时,我们希望确定该样本空间的事件。我们拥有的样本空间的功率集将为我们提供所有可能的事件。