无偏和有偏估计

推论统计的目标之一是估计未知的人口参数。通过从统计样本构建置信区间来执行此估计。有一个问题是,“我们的估算器有多好?“换句话说,”从长远来看,我们的统计过程估计人口参数的准确性如何。确定估计值的一种方法是考虑它是否无偏。该分析要求我们找到统计数据的预期值。

参数和统计

我们首先考虑参数和统计数据。我们考虑来自已知分布类型的随机变量,但在此分布中具有未知参数。该参数成为总体的一部分,或者可以是概率密度函数的一部分。我们也有一个随机变量的函数,这被称为统计量。统计量(X,X。,X)估计参数T,因此我们将其称为T的估计量。

Unbiased and Biased Estimators

我们现在定义无偏和有偏估计。从长远来看,我们希望估算器与我们的参数匹配。用更**的语言,我们希望统计的期望值等于参数。如果是这种情况,那么我们说我们的统计量是参数的无偏估计量。

如果估计量不是无偏估计量,则它是有偏估计量。尽管偏置估计器的期望值与其参数没有很好的对齐方式,但是当偏置估计器可能有用时,有许多实际情况。一种这样的情况是当使用加四置信区间来构建人口比例的置信区间时。

平均值

的示例

为了了解这个想法是如何工作的,我们将研究一个与平均值相关的例子。统计

(X+X+。+X)/n 37>

被称为样本均值。我们假设随机变量是来自具有平均值μ的相同分布的随机样本。这意味着每个随机变量的期望值是μ。

当我们计算统计的预期值时,我们看到以下内容:

E[(X+X+。+X)/n]=(E[X]+E[X]+。+E[X])/n=(nE[X])/n=E[X]=μ。

由于统计量的预期值与其估计的参数匹配,因此这意味着样本均值是总体均值的无偏估计量。

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