矢量数学导论

这是使用矢量的基本介绍,尽管希望相当全面。矢量以从位移,速度和加速度到力和场的各种方式表现出来。本文致力于向量的数学,它们在特定情况下的应用将在别处讨论。

Vectors and Scalars

向量量向量不仅提供有关数量级的信息,而且还提供有关数量方向的信息。当向房子发出指示时,它不足以说它'距离10英里,但还必须提供这10英里的方向以使信息有用。作为向量的变量将用粗体变量表示,尽管通常看到在变量上方用小箭头表示的向量。

正如我们所说的那样,另一座房子距离-10英里,矢量的大小总是一个正数,或者更确切地说矢量的"长度"的**值(尽管数量可能不是长度,它可能是速度,加速度,力等)。矢量前面的负数不't表示幅度的变化,而是矢量的方向。

在上面的例子中,距离是标量(10英里),但位移是矢量量(东北10英里)。类似地,速度是标量,而速度是矢量量。

一个单位矢量是一个幅度为1的矢量。表示单位向量的向量通常也是粗体字,尽管它上面有一个carat(^)来表示变量的单位性质。当用carat编写时,单位向量x通常被读取为"x-hat"因为carat看起来像变量上的帽子。

零向量,或零向量,是一个向量零的幅度。本文写成0

矢量分量

矢量通常定向在坐标系上,其中***的是二维笛卡尔平面。笛卡尔平面具有标记为x的水平轴和标记为y的垂直轴。物理中矢量的一些**应用需要使用三维空间,其中轴是x,y和z.本文将处理主要是二维系统,虽然这些概念可以在没有太多麻烦的情况下仔细扩展到三个维度。

多维坐标系中的矢量可以分解为它们的分量矢量。在二维情况下,这导致x分量y分量。将矢量分解为其组件时,矢量是组件的总和:

F=F+F

78>theta 79>FFF

F/F=costhetaandF/F=sintheta这给了我们
F
=FcosthetaF=Fsintheta

请注意,这里的数字是矢量的大小。我们知道组件的方向,但是我们重新尝试找到它们的大小,所以我们剥离方向信息并执行这些标量计算来计算大小。三角测量法的进一步应用可以用来找到这些量之间的其他关系(如切线),但我认为'现在已经足够了。

多年来,学生学习的**数学是标量数学。如果你北行5英里,东行5英里,你会走10英里。添加标量会忽略有关方向的所有信息。

矢量是这样操纵的mewhat不同。操纵它们时必须始终考虑方向。

添加组件

当你添加两个向量时,就好像你把向量放在了首尾相连的地方,创建了一个从起点到终点的新向量。如果矢量具有相同的方向,那么这只意味着增加幅度,但如果它们具有不同的方向,它可能变得更加复杂。

您通过将矢量分解为它们的组件,然后添加组件来添加矢量,如下所示:

a+b=c
a
+a+b+b=
a+b)+(a+b)=c+c

这两个x分量将导致新变量的x分量,而两个y分量将导致新变量的y分量。

矢量加法的属性

添加矢量的顺序无关紧要。实际上,标量加法的几个属性适用于矢量加法:

矢量加法的同一性特性182 a 183+/1840 185 a 187矢量加法的逆特性188 a 189+-190 a 191 a 192 a 193-194 a 195 0 197矢量加法的反射特性198 a 199 a 200 a 201矢量加法的交换特性202 a 203+

可以在向量上执行的最简单的操作是将其乘以标量。这个标量乘法改变了矢量的大小。在其他字,它使矢量更长或更短。

乘以负标量时,生成的燃气小知识矢量将指向相反的方向。

两个向量的标量积是将它们相乘以获得标量的一种方法。这被写为两个向量的乘法,中间的点表示乘法。因此,它通常被称为两个向量的点积

要计算两个矢量的点积,请考虑它们之间的角度。换句话说,如果他们共享相同的起点,他们之间的角度测量(theta)会是什么。点产品定义为:

a*b=abcostheta

ababba

在矢量垂直(ortheta=90度)的情况下,costheta将为零。因此,垂直矢量的点积总是零。当向量平行时(ortheta=0度),costheta为1,因此标量积只是幅度的乘积。

这些简洁的小事实可以用来证明,如果你知道这些组件,你可以用(二维)方程完全消除对theta的需求:

a*b=a b+a b

向量积axb的形式写入,通常称为两个向量的交叉积。在这种情况下,我们是乘以矢量,而不是获得标量,我们将得到矢量量。这是我们要处理的矢量计算中最棘手的一个,因为它是不是可换的,并且涉及使用dreaded右手规则,我将得到不久。

计算幅度

同样,我们考虑从同一点绘制的两个矢量,它们之间的角度theta。我们总是采取最小的角度,所以theta将始终在0到180的范围内,因此结果永远不会为负。所得矢量的大小确定如下:

如果346 c 347 a 349 x 350 b 351,那么352 c 353 ab 355 sin 356 theta 357

平行(或反平行)矢量的矢量积总是零363

矢量方向369370

矢量积将垂直于从这两个矢量创建的平面。如果您将平面描绘为平坦在桌子上,则问题会变成结果矢量是向上(从我们的角度来看,表格的"out")还是向下(或"进入"表格,从我们的角度来看)。

可怕的右手规则

为了弄清楚这一点,您必须应用所谓的右手规则。当我在学校学习物理学时,我厌恶右手规则。每次我使用它时,我都必须拉出这本书来看看它的工作原理。希望我的描述比我介绍的描述更直观。

如果你有388 a 389 x 390 b 391,你将右手沿着392 b 393的长度,这样你的手指(拇指除外)可以弯曲指向394 a 395。换句话说,您正在尝试在手掌和右手的四个手指之间制作角度theta。在这种情况下,拇指会直接向上粘贴(或者如果您尝试将其粘贴到计算机上,则会伸出屏幕)。你的指关节大致与两个矢量的起点对齐。**不是't必不可少,但我希望你从我开始就明白了在't有一张图片可以提供。

但是,如果您正在考虑bxa,则会执行相反的操作。您将右手沿着a并将手指沿着b指向。如果试图在电脑屏幕上做到这一点,你会发现这是不可能的,所以用你的想象力。你会发现,在这种情况下,你富有想象力的拇指指向电脑屏幕。这是所得矢量的方向。

右手规则显示以下关系:

418 a 419 x 420 b 421-422 b 423 x 424 a 425

cabc

436 c 437 a b 439-440 a b 441 c 442 a b 444-445 a b 446 c 447 a b 449-450 a b 451

abccc

**一句话

在更高层次上,矢量可以变得非常复杂。大学的整个课程,如线性代数,花费大量的时间来矩阵(我在本介绍中很好地避免了),向量和向量空间。这种详细程度超出了本文的范围,但这应该为物理教室中执行的大多数矢量操作提供必要的基础。如果您打算更深入地研究物理学,您将在继续接受教育时介绍更复杂的矢量概念。

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