贝叶斯定理的定义和例子

贝叶斯定理是用于概率和统计的数学方程式，用于计算条件概率。换句话说，它用于基于事件与另一个事件的关联来计算事件的概率。该定理也称为贝叶斯定律或贝叶斯定律。

历史

贝叶斯定理以英国大臣兼统计学家托马斯·贝叶斯牧师的名字命名，贝叶斯定理为其工作“解决机会论中的问题的论文”制定了一个等式。在贝叶斯死后，该书稿由理查德·普赖斯（Richard Price）在1763年出版之前进行了编辑和更正。将定理称为贝叶斯-普赖斯定律会更准确，因为普里斯的贡献很重要。该方程的现代公式是由法国数学家Pierre-Simon Laplace在1774年设计的，他当时并不知道贝叶斯的工作。拉普拉斯被认为是负责贝叶斯概率发展的数学家。

贝叶斯定理的公式

有几种不同的方法可以为贝叶斯定理编写公式。最常见的形式是：

P（A ∣ B）= P（B ∣ A）P（A）/ P（B）

其中A和B是两个事件，P（B）≠0

P（A ∣ B）是在事件B成立的情况下事件A发生的条件概率。

P（B∣A）是假设A为真的事件B发生的条件概率。

P（A）和P（B）是A和B彼此独立出现的概率（边际概率）。

例子

如果您患有花粉症，您可能希望找到一个人患类风湿性关节炎的可能性。在此示例中，“发生花粉症”是对类风湿关节炎（事件）的测试。

• 一个是事件“患者患有类风湿性关节炎。” 数据表明，诊所中10％的患者患有这种类型的关节炎。P（A）= 0.10
• B是测试“患者有花粉症”。数据表明，诊所中有5％的人患有花粉症。P（B）= 0.05
• 诊所的记录还显示，类风湿关节炎患者中有7％患有花粉症。换句话说，考虑到患有类风湿性关节炎，患者发生花粉症的可能性为7％。B∣A = 0.07

将这些值插入定理：

P（A ∣ B）=（0.07 * 0.10）/（0.05）= 0.14

因此，如果患者患有花粉症，则其患类风湿性关节炎的机会为14％。花粉症的随机患者不太可能患有类风湿关节炎。

敏感性和特异性

贝叶斯定理很好地证明了医学检验中假阳性和假阴性的影响。

• 灵敏度是真实的阳性率。它是正确识别的阳性比例的一种度量。例如，在妊娠试验中，妊娠试验阳性的妇女所占的百分比。敏感的测试很少会遗漏“阳性”。
• 特异性是真实的阴性率。它测量正确识别的负片的比例。例如，在妊娠试验中，妊娠试验阴性的女性中未怀孕的百分比。特定的测试很少会出现误报。

完美的测试将是100％敏感和特定的。实际上，测试的最小错误称为贝叶斯错误率。

例如，考虑一种灵敏度为99％且特异性为99％的药物测试。如果有一半（0.5％）的人使用助孕，那么一个随机检测结果为阳性的人实际上是使用者的概率是多少？

P（A ∣ B）= P（B ∣ A）P（A）/ P（B）

也许改写为：

P（用户∣ +）= P（+用户）P（用户）/ P（+）

P（用户+）= P（+用户）P（用户）/ [P（+用户）P（用户）+ P（+非用户）P（非用户）

P（用户∣ +）=（0.99 * 0.005）/（0.99 * 0.005 + 0.01 * 0.995）

P（用户∣ +）≈33.2％

只有约33％的时间随机测试阳性的人实际上是助孕者。结论是，即使一个人对药物测试呈阳性反应，它更可能他们根本不使用药物比他们做的。换句话说，假阳性的数量大于真阳性的数量。

在现实世界中，通常要在敏感性和特异性之间做出权衡，这取决于不要遗漏阳性结果是否更重要，还是将阴性结果标记为阳性是否更好。