为什么函数可以用级数表示，这有什么意义
为什么函数可以用级数表示，这有什么意义
<<傅里叶级数的三角函数形式>>设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为t，频率和角频率分别为f,ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。
即其中a0/2称为直流分量或恒定分量;其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。
a1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，a1，ψ1分别为其振幅和初相角;a2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，a2，ψ2分别为其振幅和初相角;其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波;二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波;除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。上式有可改写为如下形式，即当a0，an,ψn求得后，代入式(10百科-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。
把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有a-n=anb-n=-bna-n=anψ-n=-ψn即an和an是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。
二．傅里叶级数的复指数形式将式（10-2-2）改写为可见与互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅an与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。
的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。
但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅an和初相角ψn;（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。高等数学中的傅立叶级数傅立叶系数傅立叶系数包括系数，积分号和它的积分域，以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的，另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值。这个三角函数可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。
其中当n=0时，余弦值为1，此时存在一个特殊的系数，它只与x有关。正弦系数再成一个正弦，余弦再乘一个余弦，相加并且随n求和，再加上一半的，就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数。为什么它特别呢，我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已，而级数的周期就是f(x)的周期，2。如果函数f(x)存在一个周期，但是不是2了，而是关于y轴对称的任意一个范围，它还能写成傅立叶级数么？也可以的。
只要把傅立叶系数里的换成l，并且把积分号里的三角函数中的n下除一个l，同时把系数以外的那个n底下也除一个l。其他的都不动。也可以认为，2周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是，其他的（积分域和系数）应该是x，只不过这时所有的l都是罢了。前面提及了，周期或是积分域，是关于y轴的一个任意范围。
其实周期函数不用强调这个，但是为什么还要说呢？因为要特别强调一下定义域是满的。有些函数的定义域不是满的，是0到l，当然这样它有可能不是周期的。这些函数能写成傅立叶级数么？同样可以。
而且，它的写法不再是正弦和余弦函数的累积，而是单独的一个正弦函数或是余弦函数。具体怎么写，就取决于怎么做。因为域是一半的，所以自然而然想到把那一半补齐，f就成了周期函数。
补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数。补成积函数，写成的级数只有正弦项，即为0。补成偶函数，写成的级数就只含有余弦项和**项，即为0。而，傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍。
其实，如果不经延拓，上面那些对于奇偶函数同样使用。在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。
那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用。
三角函数的定义是什么
三角函数是基本初等函数之一。
是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
扩展资料：
三角函数的起源：
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。
他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。
然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。
古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（Syntaxis Mathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。
托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。
为什么函数能展开成三角级数？
新年好！Happy Chinese New Year ！1、三角函数中，只有正弦函数、余弦函数，是oscillation的周期性波动函数;2、由于它们在正负之间的波动，使得它们在叠加时有constructive加强，跟 distructive抵消。当无数个频率不同、振幅不同的正弦、余弦函数在一起 叠加时，有些地方可能很明显，有些地方会很微弱。
3、在波动光学中，我们都知道有干涉interference跟衍射diffraction。
波动学 的成功就在于相长、相消。它们的原理跟傅里叶级数的展开正好是一个事 情的两方面的表现。但是傅里叶级数展开后的应用就跟解释波动光学是一 样的原理了。4、由于e的出现，使得代数跟对数、三角函数，挂上了钩，建立了联系。
由于 麦克劳林级数、泰勒级数的出现，任何函数都可以展开成代数函数。由于 傅里叶级数的出现，任何函数都可以转化成正弦函数、余弦函数。5、西洋科学的成功，就在于定量，跟在于融为一体。
我们学波动学时，有一 个词语是 superposition，我们翻译成 “叠加原理”，我们就满足了。其实， 我们的翻译是很肤浅的，我们的笑点是很低的。同样，我们学极限时， 我们强调了limitation，会算就满足了。
但是我们却大大咧咧地忽视了极限 理论中的tendency的渲染。这些都是methodology的问题，我们研究方法 论的学者都是文科出身，学哲学的出身、、、、迄今依然把mataphysics 当成形而上学在批判。、、、、6、要全方位解答楼主的这一问题，涉及很多方面，最根本的是我们的思想方法。
谈多了，会成为众矢之的。以上观点仅供参考，欢迎讨论，欢迎匡正，欢迎批评。
三角函数为什么叫做三角函数？
因为它们的本质是任何角的**与一个比值的**的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
常见的三角函数包括：
正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
三角函数（也叫做圆函数）是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
