什么是西格玛领域？
来源:教育资源网
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发布时间:2020-12-02 07:59:38
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集合论有许多思想支持概率。一个这样的想法是西格玛领域。sigma字段指的是我们应该使用的样本空间子集的集合，以建立概率的数学形式定义。sigma字段中的集合构成了样本空间中的事件。
Definition
sigma字段的定义要求我们有一个样本空间S以及S的子集的集合。如果满足以下条件，则此子集集合为sigma字段：
- 如果子集19 A 20在sigma字段中，那么它的补码21 A 22 C 24也是如此。如果27 A 28是sigma字段中无限多的子集，那么所有这些集合的交集和并集都在sigma字段中。29
含义
定义意味着两个特定的集合是每个sigma字段的一部分。由于A和AC都在sigma字段中，因此交点也是如此。这个交集是空的。因此，空集是每个sigma字段的一部分。
样本空间S也必须是sigma字段的一部分。原因是A和AC的并集必须在sigma字段中。此并集是样本空间S。
推理
这个特定集合有用的原因有几个。首先，我们将考虑为什么集合及其补充都应该是西格玛代数的元素。集合论中的补充等同于否定。A的补码中的元素是通用集中不是A的元素的元素。通过这种方式，我们确保如果事件是样本空间的一部分，那么未发生的事件也被视为样本空间中的事件。
我们还希望集合的并集和交集在sigma代数中，因为并集可用于对“or”一词进行建模。a或B发生的事件由a和B的并集表示。类似地，我们使用交集来表示单词“and”。发生82 A 83和84 B 85的事件由集合86 A 87和88 B 89的交集表示。
物理上不可能与无限数量的集合相交。但是，我们可以认为这是有限过程的限制。这就是为什么我们还包括可数许多子集的交集和联合。对于许多无限的样本空间，我们需要形成无限的并集和交叉点。
相关想法
与sigma字段相关的概念称为子集字段。子集领域不要求可数无限的联合和交集成为它的一部分。相反，我们只需要在子集字段中包含有限的并集和交叉点。
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