如何找到正态分布的拐点
数学有一点很好，就是这个看似无关的领域以令人惊讶的方式聚集在一起。其中一个例子是应用从微积分到钟形曲线的想法。称为导数的微积分工具用于回答以下问题。正态分布的概率密度函数图上的拐点在哪里？
拐点
曲线具有可以分类和分类的各种功能。与我们可以考虑的曲线有关的一个项目是函数的图形是增加还是减少。另一个功能涉及称为凹度的事物。这大致可以被认为是曲线的一部分面对的方向。更正式的凹陷是曲率的方向。
如果曲线的形状像字母U一样，则称曲线的一部分是凹的。如果曲线的形状像下面的∩，则曲线的一部分是凹的。如果我们想到一个向上凹陷或向下凹陷的洞穴开口，很容易记住这是什么样子。拐点是曲线改变凹度的地方。换句话说，这是曲线从凹向上到凹向下的点，反之亦然。
18二阶导数19 20
在微积分中，导数是一种以各种方式使用的工具。虽然导数最着名的用途是确定给定点处曲线切线的斜率，但还有其他应用。其中一个应用程序与查找函数图的拐点有关。
如果y=f（x）的图在x=a处具有拐点，则f的二阶导数在a为零。我们用数学符号写成f“（a）=0。如果函数的二阶导数在某一点上为零，则不会自动暗示我们已经找到了一个拐点。但是，我们可以通过查看二阶导数为零的位置来寻找潜在的拐点。我们将使用这种方法来确定正态分布拐点的位置。
钟形曲线的拐点41 42具有均值μ和σ标准差的正态分布的随机变量的概率密度函数为
f（x）=1/（σ√（2π））exp[-（x-μ）2/（2σ2）]。
在这里，我们使用符号exp[y]=ey，其中e梨的小知识是近似为2.71828的数学常数。
通过知道ex的导数并应用链规则，可以找到该概率密度函数的一阶导数。
f'（x）=-（x-μ）/（σ3√（2π））exp[-（x-μ）2/（2σ2）]=-（x-μ）f（x）/σ2。
我们现在计算这个概率密度函数的二阶导数。我们使用产品规则来查看：
f''（x）=-f（x）/σ2-（x-μ）f'（x）/σ2
简化我们的表达式
f''（x）=-f（x）/σ2+（x-μ）2f（x）/（σ4）
现在将这个表达式设置为零，求解x。由于f（x）是一个非零函数，我们可以用这个函数划分方程的两边。
0=-1/σ2+（x-μ）2/σ4
为了消除分数，我们可以将两侧乘以140 141 142 4143
0=-σ2+（x-μ）2
我们现在接近我们的目标。为了求解158 x 159，我们看到了
σ2=（x-μ）2
通过取两侧的平方根（并记住同时取根的正值和负值）
±σ=x-μ
由此很容易看出拐点出现在x=μ±σ的地方。换句话说，拐点位于平均值以上一个标准偏差和平均值以下一个标准偏差。
![[基本常识]统计中的参数和非参数方法](http://www.49vv.net/d/file/p/2020/12-05/small8b9b5dc9ab8cbe53679fd0bdf05733fb1607126409.jpg)