卡方分布的**值和拐点-教育资源网

数学统计学使用来自数学各个分支的技术来明确证明关于统计的陈述是真实的。我们将看到如何使用微积分来确定上面提到的与卡方分布的**值相对应的卡方分布的值，以及找到分布的拐点。

在此之前，我们将一般讨论**值和拐点的特征。我们还将研究一种计算**拐点的方法。

如何计算微积分模式

对于离散数据集，模式是最常出现的值。在数据的直方图上，这将由**条表示。一旦我们知道**栏，我们将查看与该栏底部相对应的数据值。这是我们数据集的模式。

使用相同的想法来处理连续分布。这次找到模式，我们寻找分布中的**峰。对于这种分布的图形，峰的高度是y值。这个y值被称为我们图表的**值，因为该值大于任何其他y值。模式是与该**y值相对应的沿水平轴的值。

虽然我们可以简单地查看分布图来找到模式，但这种方法存在一些问题。我们的准确性仅与我们的图表一样好，我们可能需要估算。此外，绘制我们的功能可能会有困难。

不需要绘图的替代方法是使用微积分。我们将使用的方法如下：

从我们分布的概率密度函数f（x）开始。
计算此函数的一阶和二阶导数：f'（x）和f''（x）
设置此**个派生vative等于零f'（x）=0。
求解x。
将前一步的值转换为二阶导数并进行评估。如果结果为负，那么我们在值x处有一个局部**值。
在所有点x处评估我们的函数f（x）。前一步。
评估其支持的任何端点上的概率密度函数。因此，如果函数具有由闭合间隔[a，b]给出的域，则评估端点a和b处的函数。
**值在步骤6和7中将是函数的****值。出现此**值的x值是分布模式。

卡方分布模式

现在我们通过上述步骤来计算r自由度的卡方分布模式。我们从本文图像中显示的概率密度函数f（x）开始。

f（x）=Kx^r/2-1e^-x/2

这里K是一个常数，涉及伽马函数和2的幂。我们不需要知道具体信息（但是我们可以参考图像中的公式）。

这个函数的一阶导数是通过使用乘积规则和链规则给出的：

f'（x）=K（r/2-1）x^r/2-2e^-x/2-（K/2）x^r/2-1e^-x/2

我们将这个导数设置为零，并将表达式放在右侧：

0=152>K x^r/2-1e^-x/2[（r/2-1）x^-1-1/2]

由于常数170 K，171是指数函数和x^r/2-1都是非零的，我们可以用这些表达式划分方程的两边。然后我们有：

0=（r/2-1）x^-1-1/2

将等式的两边乘以2：

0=（r-2）x^-1-1

因此，1=（r-2）x^-1，我们得出结论，x=r-2。这是沿着水平轴发生模式的点。它表示卡方分布峰值的x值。

如何用微积分找到拐点

曲线的另一个特征涉及曲线的方式。曲线的一部分可以是凹形的，如大写U.曲线也可以是凹形的，并且形状像交叉符号∩。曲线从凹向下变为凹向上，反之亦然，我们有一个拐点。

函数的二阶导数检测函数图的凹度。如果二阶导数为正，则曲线为凹形。如果二阶导数为负，则曲线为凹下。当二阶导数等于零且函数图改变凹度时，我们有一个拐点。

为了找到图的拐点，我们：

计算我们函数的二阶导数f''（x）。
将此二阶导数设置为零。
求解前一步中x的方程。

卡方分布的拐点257258

现在我们看到如何通过上述步骤进行卡方分布。我们从区分开始。从以上工作中，我们看到我们功能的一阶导数是：

2646f f and and 39;（266x267>）=268 K 269>（r/2-1）270 x x 271 r/2-2 273 273>（r/2-1）277 x 276 x/2 277 x/2 277 x/2 278-277 278-279（280 K/2 K/2 281）（）

我们再次区分，使用产品规则两次。我们有：

f''（r/2-1）（r/2-2-2）304 x 305 306r/2-3 307 e 309 e^-x/2-（K/2）（r/2-1）（r/2-1）x^r/2-2xK（r/2-2-2-1）（r/2-1）（r/2-1）^x/2

^r/2-1e^-x/2-（K/2）（r/2-1）x^r/2-2e^-x/2

我们把它设置为零，把两边除以346 Ke 347-348-x/2349

354 x 357 x 358 r/2-3 359 360 361-（1/2）（r/2-1）362 x 363 x 364 r/2-2 364 x 364 x 364 r/2-2 36366 367 367 368+369（1 370/371-2-1）（r/2-2）356 x 357 x 357 x 357 x 357 x 358 x 358 x 358 x 358 x 358 x 358 x 358 x 357 x/2-3（r/2-2）r/2-1^{-（1/2）（（1/2）（（1/2）（1/2）（（1 378 r 379/2-1）380 x 381 r/2-2 383}

通过结合我们有的类似术语：

（r/2-1）（r/2-2）x^r/2-3-（r/2-1）x^r/2-2+（1/4）x^r/2-1

将两侧乘以4x^3-r/2，这给了我们：

0=（r-2）（r-4）-（2r-4）x+x^2.^{幼儿园健康小知识}

现在可以使用二次公式来求解x.

450 x 451>[（2r-4）452>+/-[（2r-4）454>2-4（r-2）（r-4）]^1/2]/2

我们将条款扩展到1/2功率，请参阅以下内容：

（4r²-16r+16）-4（r²-6r+8）=8r-16=4（2r-4）

这意味着：

482 x 483>[（2r-4）484>+/-[（4（2r-4）]^1/2]/2=（r-2）+/-[2r-4]^1/2

由此我们看到有两个拐点。此外，这些点关于分布模式是对称的，因为（r-2）在两个拐点之间的中间位置。