双样本T检验和置信区间的例子-教育资源网

有时在统计中，找出问题的例子是有帮助的。这些例子可以帮助我们找出类似的问题。在本文中，我们将详细介绍对两种人口均值进行推论统计的过程。我们不仅会看到如何对两种总体均值的差异进行假设检验，我们还将为此差异构建置信区间。我们使用的方法有时称为双样本t检验和双样本t置信区间。

问题陈述

假设我们希望测试小学生的数学能力。我们可能有的一个问题是，更高年级的平均考试成绩是否更高。

对27名三年级学生的简单随机样本进行数学测试，对他们的答案进行评分，结果发现平均得分为75分，样本标准差为3分。

对20名五年级学生的简单随机样本进行相同的数学测试，并对他们的答案进行评分。五年级学生的平均得分为84分，样本标准差为5分。

在这种情况下，我们提出以下问题：

我们必须选择使用哪个程序。在这样做时，我们必须确保并检查是否满足此程序的条件。我们被要求比较两种人口手段。可以用来做到这一点的一组方法是双样本t程序的方法。

为了使用这些t-程序对于两个样品，我们需要确保以下条件成立：

我们看到大多数这些条件都得到了满足。我们被告知我们有简单的随机样本。我们正在研究的人口很多，因为这些年级有数百万学生。

我们无法自动假设的条件是测试分数是否正态分布。由于我们的样本量足够大，因此通过t过程的鲁棒性，我们不一定需要变量正态分布。

由于条件得到满足，我们进行了一些初步计算。

标准误差是标准偏差的估计值。对于此统计信息，我们添加样本的样本方差，然后取平方根。这给出了公式：

（s²/n+s²/n）^1/2

通过使用上面的值，我们可以看到标准错误的值是

（3²/27+5²/20）^1/2=（1/3+5/4）^1/2=1.2583

我们可以对我们的自由度使用保守的近似值。这可能低估了自由度的数量，但计算比使用Welch's公式要容易得多。我们使用两个样本中较小的一个，然后从这个数字中减去一个。

例如，两个样本中较小的一个是20。这意味着自由度数是20-1=19。

假设检验127 128

我们希望检验这样的假设：五年级学生的平均考试成绩大于三年级学生的平均成绩。设μ为所有五年级学生人口的平均分。同样，我们让μ是所有三年级学生人口的平均得分。

假设如下：

测试统计量是样本均值之间的差值，然后除以标准误差。由于我们使用样本标准差来估计总体标准差，因此t分布的检验统计量。

测试统计量的值是（84-75）/1.2583。这大约是7.15。

我们现在确定这个假设检验的p值是多少。我们查看测试统计量的值，以及它位于具有19个自由度的t分布上的位置。对于此分布，我们有4.2 x 10^-7作为p值。（确定这一点的一种方法是使用T。DIST.RT在Excel中的功能。）

由于我们的p值很小，因此我们拒绝零假设。结论是五年级学生的平均考试成绩高于三年级学生的平均考试成绩。

由于我们已经确定平均分数之间存在差异，因此我们现在确定这两种方法之间差异的置信区间。我们已经有了我们需要的大部分。差异的置信区间需要同时具有估计值和误差范围。

两种方法的差异的估计很容易计算。我们只是找到d样本均值的差异。样本均值的这种差异估计了总体均值的差异。

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对于我们的数据，样本均值的差异为84–75=9。

误差幅度稍难计算。为此，我们需要将适当的统计量乘以标准误差。我们需要的统计数据是通过查阅表格或统计软件找到的。

再次使用保守近似，我们有19个自由度。对于95%的置信区间，我们看到t^*=2.09。我们可以使用Excel中的T.INV函数来计算这个值。

我们现在把所有事情放在一起，看看我们的误差幅度是2.09 x 1.2583，大约是2.63。置信区间为9±2.63。在五年级和三年级学生选择的测试中，间隔为6.37至11.63分。