什么是高加索分布？-教育资源网

随机变量的一个分布对于它的应用并不重要，而是它告诉我们关于我们的定义。Cauchy分布就是一个这样的例子，有时被称为病理例子。其原因是，虽然这种分布定义明确并且与物理现象有关，但分布没有均值或方差。实际上，这个随机变量不具有矩生成功能。

Cauchy分布的定义

我们通过考虑旋转器来定义Cauchy分布，例如棋盘游戏中的类型。该旋转器的中心将锚定在点（0,1）的y轴上。旋转喷丝机后，我们将延伸喷丝机的线段，直到它穿过x轴。这将被定义为我们的随机变量X。

我们让w表示旋转器用y轴产生的两个角度中的较小者。我们假设这个旋转器同样可能形成任何角度，因此W具有均匀分布，范围从-π/2到π/2。

基本三角法为我们提供了两个随机变量之间的联系：

X=tanW。

X的累积分布函数推导如下：

H（x）=P（xx）=P（tanWx）=P（Warctanx）

然后我们使用这个事实，即82,83,84,85是统一的，这就给了我们86:：，87

H（x）=0.5+（arctanx）/π

为了获得概率密度函数，我们区分累积密度函数。结果是h（x）=1/[π（1+x²）]

使Cauchy分布有趣的是，尽管我们使用随机旋转器的物理系统对其进行了定义，但具有Cauchy分布的随机变量不具有均值，方差或矩生成函数。不存在用于定义这些参数的关于原点的所有时刻。

我们首先考虑平均值。平均值定义为随机变量的期望值，因此E[X]=∫^∞X/[π（1+X²）]dX。

我们通过使用替换进行集成。如果我们设置u=1+x²，那么我们看到du=2x三国演义小知识dx。在进行替换之后，所得到的不适当的积分不会收敛。这意味着预期值不存在，平均值未定义。

类似地，方差和力矩生成函数是未定义的。

Cauchy分布以法国数学家Augustin Louis Cauchy（1789–1857）命名。尽管此分布以Cauchy命名，但有关分布的信息首先由Poisson发布。

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