随机变量的矩生成函数-教育资源网

计算概率分布的均值和方差的一种方法是找到随机变量X和X²的期望值。我们使用符号E（X）和E（X²）来表示这些期望值。通常，很难直接计算E（X）和E（X²）。为了克服这个困难，我们使用一些更先进的数学理论和微积分。最终结果是使我们的计算更容易。

这个问题的策略是定义一个新的变量t的新函数，称为矩生成函数。这个函数允许我们通过简单地求导数来计算矩。

假设

在定义时刻生成功能之前，我们首先用符号和定义设置阶段。我们让X是一个离散的随机变量。该随机变量具有概率质量函数f（x）。我们正在使用的样本空间将用S表示。

我们不想计算X的期望值，而是要计算与X相关的指数函数的期望值。如果存在正实数r，使得E（E^tX）存在并且对所有t是有限的在区间[-r，r]，那么我们可以定义X的矩生成函数。

矩生成函数是上面指数函数的期望值。换句话说，我们说X的矩生成函数由下式给出：

M（t）=E（E^tX）

这个期望值是公式∑e^txf（x），其中求和取自所有x在样本空间S。这可以是有限或无限和，取决于所使用的样本空间。

矩生成函数具有许多与概率和数学统计中的其他主题连接的功能。其中一些最重要的功能包括：

上面列表中的**一项解释了时刻生成功能的名称及其实用性。一些先进数学指出，在我们制定的条件下，当t=0时，存在任何阶函数M（t）的导数。此外，在这种情况下，我们可以改变求和和和微分的顺序相对于156 t 157，以获得以下公式（所有求和都超过了样本空间中158 x 159的值160 S 161）：

^{''（t）=∑x³e^txf（x）M^（n）'（t）=∑xⁿe^txf（x）}

如果我们在上述公式中设置t=0，则e^tx项变为e⁰=1。因此，我们得到了mo的公式随机变量X：

'（0）E 272（0）2525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525>^（n）（0）=E（Xⁿ）

这意味着，如果特定随机变量存在矩生成函数，那么我们可以找到它的均值及其在矩生成函数导数方面的方差。平均值M'（0），方差M'（0）–[M'（0）]²。